第56号教室的奇迹 第五章 加加看
发表时间:2015/01/08 00:00:00 浏览次数:3328
数字的研究是门极端的科学，孩子不是爱它，就是恨它。当被问到对数学有何感觉时，会耸耸肩表达中立意见的学生非常少。
都会小学（我所任教的学校是是其中之一）的测验分数往往循着一种可预测的模式。很多学生的母语并非英语，因此阅读测验的分数很低，但是数学成绩却好得多。这没有什么神秘的。数字是全球通用的语言，对于英文说得不好的人来说，计算和乘法表比海明威或蓝斯顿休斯（一九二○年代以颂扬黑人生活及文化为宗指哈林文艺复兴运动中，最重要的作家及思想家之一）容易亲近多了。
不过，佷多小学时期数学很好的学生在进入高等数学的领域之后开始节节败退
代数、几何等数学对那些曾经表示最喜欢数学这个科目的学生们来说，是一个无法理解的谜团。很少学生会叹气说：「我以前历史很强耶。」但我们却常听到学生沮丧地大叫：「我以前数学很好，真的！」为什么会这样？
现在的学生为准备考试而忙得不可开，交对数字往往没有确实的理解。因为标准化测验对各校的重要性越来越高，所以学生就反复练习着乘法表和只以计算为基础的解题方法。老师们还教学童解题「技巧」，导致学生虽然会算正确答案，却搞不清楚自己突竟在做什么。唯一的成果就是，他们的测验成绩很好，大家都很高兴。
但这不应该是我们教数字的终极目标。我们要孩子了解数字的威力，明白数学和他们生活息息相关，而且趣味无穷。只训练学通过考试，就像依照巴甫洛夫学说训练狗一样（将人的心厘和精神、一切智力行为，以及随意运动，都视为对信号的反应），只会让升上中学就开始讨厌数学的故事一再重演。
我在前面几章谈过恐惧，对子而言，数学课想必是特别吓人的。没有人喜欢看来很笨，而数字的精确性可以让人变得谦逊。我常提醒年轻老师说，恐惧感在数学课蔓延的速度，往往比其他科目来得快。上历史课的时候，学生如果答错，老师很容易把不正确的答案变成鼓励性的建议。如果学生被问到对林肯总统有何看法，而学生回答林肯是个伟大驾驶员时，我可以评论说，「从某个角来看，林肯确实是个驾驶员，他领我们国家安全穿越风暴」，用这样的方法挽救他的答案。但如果学生说２＋２＝５，其他同学都知道他错了（除非我们在读乔治奥韦尔的名著《一九八四》。这么看来，数学确实有它吓人的地方。
很遗憾地，我见过太多小学老师是这样上数学课的：
各位同学，请打开课本，翻到第一四二页，上面有五百题乘法，请把这五百题做。算完以后翻到书本最后一页，也就是第五四三Ａ页，上面还有五百题乘法。请大家安静做题目。
如果你是这么做老师，你一定爱死这些孩子了，因为他们都会乖乖照做，一句抱怨都没有。但是我有个问题：如果小孩会算十个乘法题，为什么要他做五百题？如果他连十题都不会算，那么要他做五百题的意义在哪里？这种反复练到兴致索然的唯一真实目的，是让老师落得轻松。我就发现数学课其实有更有效的教法。无论我教的是什么技巧，我都以重质不重量的原则，出较少的题目让学生练习。因为我没把整堂课的时间拿来做基础运算，所以有时间来帮助孩子理解数字、学着喜欢数字。各位可以在各个班级里、家里的餐桌上，或是开车接送孩子们的途中进行以下三项活动。[NextPage]
Buzz
孩子们和我都喜欢玩Buzz，这是个十分钟长的数学练习，可以有各种变化，我每个礼拜都会和学生玩上好几次。全班起立，我随便选一个数字——假设是３好了——他们不可以把我选的数字大声说出来。在游戏过程中只要出现３，就要用Buzz这个字来代替。接着全班开始数到１００，学生要依序念出下一个数字。例如，如果选３当Buzz，第一个学生会说「１」，第二个学生说「２」，第三个学生说「Buzz」，下一个学生则说「４」。下一个说数字人是由我来指定，而不是按照顺序。这么一来，玩游戏的时候个要专心注意下一个数字。以数到１００为例，遇到２３和７３的时候都要说Buzz，因为这两个数字里面都有３。答错的学生就坐下来，看看数到１００的时候还有谁站着。这个游戏到了３０时就变得特别刺激，因为接下来的十个数字都要用Buzz回答。学生们要很专心；在这一连串数字以后，被指到的人要在正确的时机说出４０才可以过关。
随着孩子们的成长，你可以加入新的元素（例如：乘法或分数）来挑戢他们。举个例子，如果禁忌数字是６，那么孩子们可以这么玩：
我们也可以换另一种玩法，例如，不让学生说质数。看到学生在轮到自己的时候绞尽脑汁思考的模样，真是件很棒的事情。你会看见他在心里默默运用着四则运算的规则，然后说出数字或用Buzz代替，这个时候其他三十多名学生会安静地等着。他专心在算，而大家也都给予尊重，因为每个人都遇过这种状况。当学生最后说出「９１」的时候，我问同学他为什么不用Buzz来代替。学生们回答13×7=91，这个回答在我耳里听来就像音乐般美妙。这个游戏带来的欢笑和兴奋感受，以及让学生们学到的许多事情，都是做练习题无法达到的。
玛西库克
如果你知道玛西库克是谁，那么你应该已经知道她是协助学生理解数字方面的天才。她的确就像广告上所说的那么棒。
不熟悉玛西的父母和老师可以上她的网站www.marcycookmath.com看看，你们不会失望的。
我在二十多年前的一次教职员发展会议中遇见环西，因为她，我在协助孩童理解数学的方上有了改变。我用她发明的两种方法使数学课更有趣、更不吓人，而且更有意义。
心算暖身
不少老师羡慕第５６号教室在转换上课科目时的流畅度，我们一点都不浪费时间。我们班的数学课一定从心算开始，同时搭配使用玛西在她网站上大力推荐的「数字砖」，这么一来，从其他科目转换到数学课的过程会顺畅许多。每一个数字砖都是一吋见方大小的方块，上面分别印着数字１到９。从０到９的一整组数字砖要一美元。我在很久以前就买了３５套给学生使用，让他们用密封袋收好放在抽屉里。
在文法课结束时，我要学生把作业收起来。在他们收作业的同时，我们宣布一个心算题。这么做抓住了孩子的注意力。他们一边听问题，一边安静地把文法作业收起来，并且把数字砖拿出来放在桌上。宣布心算热身题的优点是让全班一同参与。解出答案时，每个学生都会选出他认为对的数字砖，高高举起。我没有叫任何人回答问题，所以没有人必须站在聚光灯下，也不会有伴随尴尬而来恐惧。看着全班学生高举着答案，我马上就知道谁已经会了，而谁需要协助。幼儿园学数数儿的小孩可以玩这个游戏，学三角函数的也可以用它来找余弦。[NextPage]
雷夫：好，孩子们，每个人心里想着７（他们照做了）。
乘以４（孩子们默默地想着２８）。
加倍（５６）。
减５０（６）。
给我看答案。
学生们立刻把６的数字砖拿起来。
我很喜欢把其他主题加到心算游戏里。我们想要孩子们知道的数字是那么的多。
雷夫：从美国的州数开始（５０）。
加上一打（他们现在想着６２）。
减去最高法院的法官人数（孩子们减去９得到５３）。
加上半个月的周数（有二周，现在孩子们得到５５）。
除以１１，然后给我看答案。
每个学生都把５举起来。孩子们能在脑中牢记这么多的信息真让我感到讶异。
雷夫：从一加仑有几品脱开始（８）
加上棒球赛的局数（１７）
乘以公分之于公厘的倍数（１７０）
减去美国参议员总人数（７０）
减去半打（６４）
给我看平方根。
数字８闪电般快速出现。
在学年结束之前，我班上的学生学会了公制单位、分数，以及各种帮助我们记忆科学、历，史以及文学的数字。这个简单的小游戏帮孩子们热身，让他们开心又充满活力。在专注于当天要学的技巧之前，他们已经充分做好学习的准备。
我见过优秀的老师们利用这个游戏加强学生的几何和三角函数、元素周期表，以及美国历史中的重要日期。它玩起来简单、花的时间也不多，而且孩子们乐在其中。许多学生也会自己玩这个游戏，并替全班设计问题。
玛克库克数字砖问题
玛克库克为各个程度的学习者研发了书籍和课程。她所贩卖的「任务卡包裹」里有二十个独一无二的问题，每个问题都是针对某个特定技巧和搭配数字砖进行心算练习所设计的。
最基础的任务卡是设计给年幼的学生学数数儿用的。卡片上有动物或物体的图像，图像旁边则有一个让学生放入正确数字砖的方格。在每张卡片上，这十个数字砖不能重复使用，以便学生自行更正。如果孩子认为数字３是答案，但是数字３已经用过了，那么他就知道有地方弄错了，接着根据这些线索去移动数字砖，不需要画掉或清除答案。
更高阶的任务卡着重于算数或其他技巧。每张卡片所教的内容并不只是基础的计算而已——卡片特别之处是，学生在玩的时候必须针对一系列的任务进行评估。[NextPage]
下图的卡片范例上有五个题目。记得：学生手上有十张数字砖——每张数字砖都有对应的方格。请看范例左下角的题目。我们可以用４和３来解题，因为4×8=32。但是，这题也可以用９和７来解，因为9×8=72。学生必须同时解开五个题目，才能找出每个数字砖究竟该放在哪个方格。正中央的题目有很多种解法，因为０被任何数字除都等于０。做题目的人被迫尝试多种解题组合，直到发现和个别空格相应的正确数字砖为止。经验、能力兼备的学生马上就能看出右上角的题只能用１和８来解。虽然0×8=0，但因为０的砖块只有一个，所以这个答案不可能是对的。
反复练习到亳无乐趣可言的学生不是知道答案，就是不知道答案。相对于此，玛克库克所设计的课程既丰富又有深度，提供我们另一种选择。她的教材确实丰富了数学课。在帮助落后学生复习基础概念的同时，也让程度好的学生有所成长。很多五年级生都会做分数相加的题目，但是他们能把每一块数字砖都派上用场，找出三组相当于1/4、1/3，以及1/2的分数吗？玛西的工具强调数学的乐趣和学无止境的道理。我班上最优秀的学生都明白，数学方面优异表现来自于学习的过程，而非上完每一章时要考的试。
此外，玛西的课程大多包括了多样化任务和多组数字砖。我常常让三个学生一起用三十块数字砖解题，每块数字砖都要用到一次。如此一来，孩子们不只做了数学题，还学着分工合作。他们学习倾听彼此的意见，也从中增进沟通技巧。突然之间，这项作业超越了数字的世界，孩子们发现他们置身于一个魔法天地。在那里，勤勉、思考，以及快乐合而为一，创造出我们理想中的高质量教育。
显然，数学题和游戏只是个开始，我将在后面章节讨论更多进阶的思考技巧。但重要的事情要先做：孩子如果想在未来持续在数学这一科有好的表现，就必须真正爱上数字才行。就像阅读一样，优秀的孩子在任何时间都找得到数学的乐趣。数学不是周一到周五早上九点半发生的事情，它随时随地都在我们身边。
最近，孩子们和我造访了芝加哥，为某个商业团体表演莎士比亚的作品。他们想要到硬石餐厅小吃一顿，这是本班的一项传统，我们利用排演的休息间时冒着风雪从饭店步行至安大略大道上的餐厅。孩子们很爱一边用餐，一边看着店里那些彷佛诉说着流音乐历史的各项纪念品，心理还默默祈祷着老师会去买Ｔ恤送给大家。侍者到我们这桌来服务的时候，我刚好去上洗手间。他见到一群孩子上门，于是就去拿蜡笔和菜单给他们着色。当他回来的时候，孩子们咯咯地笑着解释说，侍者不需要在他们等待上菜的时候娱乐他们，因为他们可以自得其乐。我回来的时候，孩子们正活力充沛地玩着Buzz游戏，而侍者就坐在我的位子上，玩得比孩子们还起劲。他对我说：「真希望我读五年级的时候也有人这么教我。」
都会小学（我所任教的学校是是其中之一）的测验分数往往循着一种可预测的模式。很多学生的母语并非英语，因此阅读测验的分数很低，但是数学成绩却好得多。这没有什么神秘的。数字是全球通用的语言，对于英文说得不好的人来说，计算和乘法表比海明威或蓝斯顿休斯（一九二○年代以颂扬黑人生活及文化为宗指哈林文艺复兴运动中，最重要的作家及思想家之一）容易亲近多了。
不过，佷多小学时期数学很好的学生在进入高等数学的领域之后开始节节败退
代数、几何等数学对那些曾经表示最喜欢数学这个科目的学生们来说，是一个无法理解的谜团。很少学生会叹气说：「我以前历史很强耶。」但我们却常听到学生沮丧地大叫：「我以前数学很好，真的！」为什么会这样？
现在的学生为准备考试而忙得不可开，交对数字往往没有确实的理解。因为标准化测验对各校的重要性越来越高，所以学生就反复练习着乘法表和只以计算为基础的解题方法。老师们还教学童解题「技巧」，导致学生虽然会算正确答案，却搞不清楚自己突竟在做什么。唯一的成果就是，他们的测验成绩很好，大家都很高兴。
但这不应该是我们教数字的终极目标。我们要孩子了解数字的威力，明白数学和他们生活息息相关，而且趣味无穷。只训练学通过考试，就像依照巴甫洛夫学说训练狗一样（将人的心厘和精神、一切智力行为，以及随意运动，都视为对信号的反应），只会让升上中学就开始讨厌数学的故事一再重演。
我在前面几章谈过恐惧，对子而言，数学课想必是特别吓人的。没有人喜欢看来很笨，而数字的精确性可以让人变得谦逊。我常提醒年轻老师说，恐惧感在数学课蔓延的速度，往往比其他科目来得快。上历史课的时候，学生如果答错，老师很容易把不正确的答案变成鼓励性的建议。如果学生被问到对林肯总统有何看法，而学生回答林肯是个伟大驾驶员时，我可以评论说，「从某个角来看，林肯确实是个驾驶员，他领我们国家安全穿越风暴」，用这样的方法挽救他的答案。但如果学生说２＋２＝５，其他同学都知道他错了（除非我们在读乔治奥韦尔的名著《一九八四》。这么看来，数学确实有它吓人的地方。
很遗憾地，我见过太多小学老师是这样上数学课的：
各位同学，请打开课本，翻到第一四二页，上面有五百题乘法，请把这五百题做。算完以后翻到书本最后一页，也就是第五四三Ａ页，上面还有五百题乘法。请大家安静做题目。
如果你是这么做老师，你一定爱死这些孩子了，因为他们都会乖乖照做，一句抱怨都没有。但是我有个问题：如果小孩会算十个乘法题，为什么要他做五百题？如果他连十题都不会算，那么要他做五百题的意义在哪里？这种反复练到兴致索然的唯一真实目的，是让老师落得轻松。我就发现数学课其实有更有效的教法。无论我教的是什么技巧，我都以重质不重量的原则，出较少的题目让学生练习。因为我没把整堂课的时间拿来做基础运算，所以有时间来帮助孩子理解数字、学着喜欢数字。各位可以在各个班级里、家里的餐桌上，或是开车接送孩子们的途中进行以下三项活动。[NextPage]
Buzz
孩子们和我都喜欢玩Buzz，这是个十分钟长的数学练习，可以有各种变化，我每个礼拜都会和学生玩上好几次。全班起立，我随便选一个数字——假设是３好了——他们不可以把我选的数字大声说出来。在游戏过程中只要出现３，就要用Buzz这个字来代替。接着全班开始数到１００，学生要依序念出下一个数字。例如，如果选３当Buzz，第一个学生会说「１」，第二个学生说「２」，第三个学生说「Buzz」，下一个学生则说「４」。下一个说数字人是由我来指定，而不是按照顺序。这么一来，玩游戏的时候个要专心注意下一个数字。以数到１００为例，遇到２３和７３的时候都要说Buzz，因为这两个数字里面都有３。答错的学生就坐下来，看看数到１００的时候还有谁站着。这个游戏到了３０时就变得特别刺激，因为接下来的十个数字都要用Buzz回答。学生们要很专心；在这一连串数字以后，被指到的人要在正确的时机说出４０才可以过关。
随着孩子们的成长，你可以加入新的元素（例如：乘法或分数）来挑戢他们。举个例子，如果禁忌数字是６，那么孩子们可以这么玩：
我们也可以换另一种玩法，例如，不让学生说质数。看到学生在轮到自己的时候绞尽脑汁思考的模样，真是件很棒的事情。你会看见他在心里默默运用着四则运算的规则，然后说出数字或用Buzz代替，这个时候其他三十多名学生会安静地等着。他专心在算，而大家也都给予尊重，因为每个人都遇过这种状况。当学生最后说出「９１」的时候，我问同学他为什么不用Buzz来代替。学生们回答13×7=91，这个回答在我耳里听来就像音乐般美妙。这个游戏带来的欢笑和兴奋感受，以及让学生们学到的许多事情，都是做练习题无法达到的。
玛西库克
如果你知道玛西库克是谁，那么你应该已经知道她是协助学生理解数字方面的天才。她的确就像广告上所说的那么棒。
不熟悉玛西的父母和老师可以上她的网站www.marcycookmath.com看看，你们不会失望的。
我在二十多年前的一次教职员发展会议中遇见环西，因为她，我在协助孩童理解数学的方上有了改变。我用她发明的两种方法使数学课更有趣、更不吓人，而且更有意义。
心算暖身
不少老师羡慕第５６号教室在转换上课科目时的流畅度，我们一点都不浪费时间。我们班的数学课一定从心算开始，同时搭配使用玛西在她网站上大力推荐的「数字砖」，这么一来，从其他科目转换到数学课的过程会顺畅许多。每一个数字砖都是一吋见方大小的方块，上面分别印着数字１到９。从０到９的一整组数字砖要一美元。我在很久以前就买了３５套给学生使用，让他们用密封袋收好放在抽屉里。
在文法课结束时，我要学生把作业收起来。在他们收作业的同时，我们宣布一个心算题。这么做抓住了孩子的注意力。他们一边听问题，一边安静地把文法作业收起来，并且把数字砖拿出来放在桌上。宣布心算热身题的优点是让全班一同参与。解出答案时，每个学生都会选出他认为对的数字砖，高高举起。我没有叫任何人回答问题，所以没有人必须站在聚光灯下，也不会有伴随尴尬而来恐惧。看着全班学生高举着答案，我马上就知道谁已经会了，而谁需要协助。幼儿园学数数儿的小孩可以玩这个游戏，学三角函数的也可以用它来找余弦。[NextPage]
雷夫：好，孩子们，每个人心里想着７（他们照做了）。
乘以４（孩子们默默地想着２８）。
加倍（５６）。
减５０（６）。
给我看答案。
学生们立刻把６的数字砖拿起来。
我很喜欢把其他主题加到心算游戏里。我们想要孩子们知道的数字是那么的多。
雷夫：从美国的州数开始（５０）。
加上一打（他们现在想着６２）。
减去最高法院的法官人数（孩子们减去９得到５３）。
加上半个月的周数（有二周，现在孩子们得到５５）。
除以１１，然后给我看答案。
每个学生都把５举起来。孩子们能在脑中牢记这么多的信息真让我感到讶异。
雷夫：从一加仑有几品脱开始（８）
加上棒球赛的局数（１７）
乘以公分之于公厘的倍数（１７０）
减去美国参议员总人数（７０）
减去半打（６４）
给我看平方根。
数字８闪电般快速出现。
在学年结束之前，我班上的学生学会了公制单位、分数，以及各种帮助我们记忆科学、历，史以及文学的数字。这个简单的小游戏帮孩子们热身，让他们开心又充满活力。在专注于当天要学的技巧之前，他们已经充分做好学习的准备。
我见过优秀的老师们利用这个游戏加强学生的几何和三角函数、元素周期表，以及美国历史中的重要日期。它玩起来简单、花的时间也不多，而且孩子们乐在其中。许多学生也会自己玩这个游戏，并替全班设计问题。
玛克库克数字砖问题
玛克库克为各个程度的学习者研发了书籍和课程。她所贩卖的「任务卡包裹」里有二十个独一无二的问题，每个问题都是针对某个特定技巧和搭配数字砖进行心算练习所设计的。
最基础的任务卡是设计给年幼的学生学数数儿用的。卡片上有动物或物体的图像，图像旁边则有一个让学生放入正确数字砖的方格。在每张卡片上，这十个数字砖不能重复使用，以便学生自行更正。如果孩子认为数字３是答案，但是数字３已经用过了，那么他就知道有地方弄错了，接着根据这些线索去移动数字砖，不需要画掉或清除答案。
更高阶的任务卡着重于算数或其他技巧。每张卡片所教的内容并不只是基础的计算而已——卡片特别之处是，学生在玩的时候必须针对一系列的任务进行评估。[NextPage]
下图的卡片范例上有五个题目。记得：学生手上有十张数字砖——每张数字砖都有对应的方格。请看范例左下角的题目。我们可以用４和３来解题，因为4×8=32。但是，这题也可以用９和７来解，因为9×8=72。学生必须同时解开五个题目，才能找出每个数字砖究竟该放在哪个方格。正中央的题目有很多种解法，因为０被任何数字除都等于０。做题目的人被迫尝试多种解题组合，直到发现和个别空格相应的正确数字砖为止。经验、能力兼备的学生马上就能看出右上角的题只能用１和８来解。虽然0×8=0，但因为０的砖块只有一个，所以这个答案不可能是对的。
反复练习到亳无乐趣可言的学生不是知道答案，就是不知道答案。相对于此，玛克库克所设计的课程既丰富又有深度，提供我们另一种选择。她的教材确实丰富了数学课。在帮助落后学生复习基础概念的同时，也让程度好的学生有所成长。很多五年级生都会做分数相加的题目，但是他们能把每一块数字砖都派上用场，找出三组相当于1/4、1/3，以及1/2的分数吗？玛西的工具强调数学的乐趣和学无止境的道理。我班上最优秀的学生都明白，数学方面优异表现来自于学习的过程，而非上完每一章时要考的试。
此外，玛西的课程大多包括了多样化任务和多组数字砖。我常常让三个学生一起用三十块数字砖解题，每块数字砖都要用到一次。如此一来，孩子们不只做了数学题，还学着分工合作。他们学习倾听彼此的意见，也从中增进沟通技巧。突然之间，这项作业超越了数字的世界，孩子们发现他们置身于一个魔法天地。在那里，勤勉、思考，以及快乐合而为一，创造出我们理想中的高质量教育。
显然，数学题和游戏只是个开始，我将在后面章节讨论更多进阶的思考技巧。但重要的事情要先做：孩子如果想在未来持续在数学这一科有好的表现，就必须真正爱上数字才行。就像阅读一样，优秀的孩子在任何时间都找得到数学的乐趣。数学不是周一到周五早上九点半发生的事情，它随时随地都在我们身边。
最近，孩子们和我造访了芝加哥，为某个商业团体表演莎士比亚的作品。他们想要到硬石餐厅小吃一顿，这是本班的一项传统，我们利用排演的休息间时冒着风雪从饭店步行至安大略大道上的餐厅。孩子们很爱一边用餐，一边看着店里那些彷佛诉说着流音乐历史的各项纪念品，心理还默默祈祷着老师会去买Ｔ恤送给大家。侍者到我们这桌来服务的时候，我刚好去上洗手间。他见到一群孩子上门，于是就去拿蜡笔和菜单给他们着色。当他回来的时候，孩子们咯咯地笑着解释说，侍者不需要在他们等待上菜的时候娱乐他们，因为他们可以自得其乐。我回来的时候，孩子们正活力充沛地玩着Buzz游戏，而侍者就坐在我的位子上，玩得比孩子们还起劲。他对我说：「真希望我读五年级的时候也有人这么教我。」
